چگونه ریاضی بخوانیم
روز یکشنبه 26 آذر88 همزمان با افتتاح خانه ریاضیات بروجن جلسه ی پرسش و پاسخی تحت عنوان «چگونه ریاضی بخوانیم» با حضور چند تن از اساتید ریاضی کشورمان و دانش آموزان مقاطع متوسطه و پیش دانشگاهی در شهرستان بروجن برگزار شد. ابتدا آقای اسماعیل رسولی یکی از دبیران ریاضی بروجن و مجری جلسه، از اساتید بزرگوار، دکتر زهرا گویا، خانم هانی، آقای خرد پژوه و آقای دکتر نقی پور دعوت کردند تا در جایگاه مخصوص قرار گرفته و خودشان را برای دانش آموزان معرفی نمایند، سپس دانش آموزان به نوبت سوالات خود را مطرح کردند.
اولین سوال را خانم زهرا فولادی دانش آموز سال اول متوسطه پرسید : چرا زمانی که ریاضی می خوانیم زود خسته می شویم؟
آقای خرد پژوه: مسلم است که زود خسته می شوید ولی اگر دسته جمعی ریاضی مطالعه کنید زود خسته نمی شوید. پیشنهاد من به شما این است که با دانش آموزان دیگر گروه تشکیل بدهید و با هم مسئله حل کنید از فکر هم استفاده کنید تا نقاط ضعف و قوت همدیگر را بپوشانید مسلماً خستگی تان کمتر می شود.
خانم هانی: ببخشید من فقط می خواستم این را بگویم شاید شما مطلب مناسبی از ریاضی را مطالعه نمی کنید شما دلیل ندارد که بتونید هر مسئله ای را حل کنید مثلا من خیلی مسئله تجزیه حل کردم ولی اگر یک نفر امروز چهارتا سه جمله ای یا چهار جمله ای در هم ضرب کنه و ساده اش کنه و فردا همون ساده شده اش را یزاره جلوی من، نمی تونم تجزیه کنم، دلیل هم نداره که بتونم تجزیه کنم من نمی دونم چرا شما فکر می کنید هر مسئله را گذاشتند جلوتون باید حل کنید، مسأله باید در حد خودتون باشه و همینطور که آقای خرد پژوه گفتند اگر شما چند نفر با هم یک مسئله را حل کنید ممکنه خیلی زودتر حل بکنید و خسته هم نشید خیلی ممنون.
آقای دکتر نقی پور: مقایسه می کنم مسئله را با کوهنوردی، ممکنه شما بگید از این کوه سنگ سُلف[1] برید بالا، خوب می رید، هیچ لذتی هم به شما دست نمی ده، این میشه یه مسئله آسون که حل کردنش تکراری می شه و هیچ فایده ای هم نداره یه مقداری سخت تر می شه مثل کوه سیاسرد[2]. خوب اون کسانی که می تونند برند قله، بالاخره احساس خوشحالی و شور و شعف می کنند. بعضی ها ممکنه از کوه سیاسرد هم لذت نبرند اونا از قله دماوند، هیمالیا و ... بالا میرند خیلی از کوهنوردها هستند که این ها هم براشون چیزی نیست. این خود طرف هست که باید تشخیص بدهد که این مسئله براش آسون هست یا نه و بره سراغ مسائلی که برای او مناسبند و بالاخره باید کمی سختی هم داشته باشه. تحمل این سختی به نظر من ارزشش رو داره، زیرا وقتی به قله رسید لذتش را می بره.
سوال دوم، خانم راضیه کریمی: با عرض سلام و خسته نباشید. می خواستم بگم اگه که نمره ملاک درس ریاضی نیست یعنی ملاک فقط این است که یک دانش آموز خوب است یا بد پس چه طوری می تونیم بفهمیم که این شخص چه قدر ریاضی متوجه شده ؟
خانم گویا: ببینید یک سوال خیلی جدی مطرح کردید که من فکر می کنم یک چالش بزرگ برای همه ماهایی که به عنوان معلم توی مدرسه و دانشگاه کار می کنیم هست.(فرق نمی کند) که بالاخره ارزشیابی ما چیه و راجع به یادگیری دانش آموزان چگونه قضاوت می کنیم، ما نمی تونیم از نمره به عنوان رده بندی کردن بچه ها استفاده کنیم و بعضی جاها بگیم که نمره ملاک نیست بالاخره نمره ملاک هست یا نمره ملاک نیست. یعنی این پیامی که باید دریافت کنیم پیام صحیحی باید باشد اگر نمره ملاک است ملاک نمره چیه یعنی اینکه چگونه نمره کسب می شه این ممکنه محل مناقشه ای باشه. مثلاً این که چقدر فعالیت های مستمر شما در طول سال تحصیلی (امتحان های مکرر را نمی گم، فعالیت های مستمر را می گم) به حساب می یاد یعنی من معلم از شمای دانش آموز چقدر شواهد و مستندات دارم که روی توانایی شما قضاوت کنم و اگر کسی پرسید چرا اون نمره بگم معرف این توانایی فرد است یا به علت این شواهد است. مثلاً نوع مشارکت، نوع تولید، نوع تعاملی که با بقیه دارید، نوع تلاشی که نسبت به خودت کردی و نوع حرکتی که از نظر خودت شروع کردی و به نقطه بعدی رسیدی، نه این که در مقایسه با همه. نظر شخصی ام این هست که باید آن ها با دانش آموزانمان را روشن بگیم که بالاخره ملاک کسب نمره چیه، ملاکها باید واضح و شفاف برای دانش آموزان شرح داده شود.
بازم تکرار می کنم سوال شما یک چالش جدی برای همه ماست که بهش فکر کنیم و آخر ببینیم که نمره ای که به شما داده می شه معادل چه چیزیه و شما بدونید معادل چه چیزیه، البته من سوال شما را جواب ندادم فقط چالشی که برای ما به وجود آورده را مطرح کردم.
آقای خرد پژوه: منظور خانم دکتر اینه که در واقع نمره ای که یک فرد دریافت می کند انتهای یک پروسه است که یه بخشی اش به من معلم بر می گرده و به اون سوالی که مطرح می کنم، آقای دکتر نقی پور مثال کوهنوردی رو زد من یه مثال ورزشی دیگه بزنم مثل مدال های طلایی که توسط مسابقات مختلف داده می شه، شما مدال طلای المپیک رو با مدال طلای بازی های آسیایی نمی تونید مقایسه کنید چونکه نوع فعالیتی که توش انجام شده متفاوتند چون در یک رقابتی و در یک شرایطی دیگر طرح شده، در اینجا نمره ای که شما می گیرید بستگی به این داره که تو چه زمینه ای دارید امتحان می دید. این امتحان چه قدر براش وقت صرف شده، سوال مناسب برای اندازه گیری و سنجش اون چیزیه که شما باید یاد بگیرید طراحی شده؟ این ها خیلی ملاک هایی است که متاسفانه گاهی خوب رعایت نمی شه ودر نتیجه نمره در امتحان نمی تونه ملاک واقعی توانایی فرد باشه.
سوال سوم، یکی از دانش آموزان: فرمول برای حل مسائل ریاضی و هندسه لازمه یا این که هر دانش آموزی باید بتونه فرمول را اثبات کنه یعنی همه فرمول ها باید سر کلاس اثبات بشه یا نه؟
خانم گویا: ببینید این بازم چالش ای است که به ما بر می گرده نه به شمای دانش آموز، ممنون از سوال خوبی که پرسیدید واقعاً محصول ما از یادگیری یک مطلب ریاضی چیه، ما باید این را روشن و صریح بگیم. حدود صریح یادگیری یعنی اون موضوعی که می خواد یادگرفته بشه از نظر ما چه تعبیری داره ما حفظ کردن فرمول را یادگیری می گیم، اثبات فرمول را یادگیری می گیم، یا اینکه استفاده از فرمول را یادگیری می گیم، به چی می گیم یادگیری! من فکر می کنم که ارزشیابی باید از راز و رمزش بیرون بیاد، صراحت و شفافیتش بیشتر بشه و تقاضایی که از دانش آموز و دانشجو داره را صریح تر بیان کنه. به هر حال ببینید شما وقتی که یه فرمول را مثلاً حفظ می کنید یه اتفاقی افتاده ولی این اتفاق چه قدر مهمه یه بحثی دیگریه، ما از یه طرف می گیم ریاضی حفظ کردنی نیست ولی از طرف دیگه ارزشیابی مان 80% متکی به محفوظاته، بالاخره یک تناسبی باید بین این دو پیام وجود داشته باشه اگر می خوایم حافظه را اندازه گیری کنیم باید قواعد تقویت حافظه و چگونگی سنجش حافظه را رعایت کنیم. ولی اگر غیر از اینه، خوب ما می گیم به تمهیدات دیگری بیندیشیم. ولی واقعیتش اینه که از نظر من، من نظر شخصی ام را دارم می گم ارزشیابی مخلوطی از همه این هاست که فی البداهه بتونه معلوم کنه دانش آموز چه قدر می تونه از امکانات بدست آورده استفاده کنه چقدر بلده خودش یه چیز جدید تولید کنه چقدر بلده اون چیزایی که یاد گرفته رو بکار ببره.
دکتر نقی پور: یک دانش آموز در طول مدتی یه چیزایی را یاد می گیره و معلم باید در طول ترم دانش آموز را ارزشیابی کنه، نه این که یه برگه برداره سه چهار تا سوال بگه و یه نمره بده این آسونترین راهه که جلوی پای من معلم یا استاد گذاشته شده و ما آسونترین راه را انتخاب می کنیم که واقعاً هم درست نیست. اما در خصوص اثبات فرمول ها، ما اگر نتونیم اون فرمول را اثبات کنیم مطمئناً چیز جدیدی هم نمی تونیم به وجود بیاریم این اثبات فرمول ها ما را آماده می کند برای پیدا کردن چیزای جدید که نمی دونیم وگرنه اگر این فرمول ها رو حفظ کنیم و نتونیم اثبات کنیم ما یه قدم جلوتر نمی تونیم بریم قدم اصلی و مهم این است که این فرمول هایی را که تو کتاب هست اثبات کنیم و ابداعات و خلاقیت ها از همین جا شروع می شه
دانش آموز خانم مینا تقی زاده: به نظر من کسی که می خواد ریاضی بخونه و یاد بگیره باید از همون صفر، صفر شروع کنه از همون مسائل بسیار ساده شروع کنه و حل کنه تا به مسائل سخت برسه اما وقتی مسائل ساده را شروع کنه خیلی راحت حل می کنه و راحت پیش می ره تا به مسائل سخت می رسه حالا اگر رسید به جایی که تونست مسائل سخت را حل کنه ولی سوالی که خیلی آسونه و مال همون ابتدای حرکتش بوده را نتونه حل کنه مشکل اش چیه؟
خانم دکتر: ببینید با یه پیش فرض خوب یک سوال خوب کردند شما کلاس چندمید؟ (جواب) سوم دبیرستان
پیش فرضشان این که 1)بهتره دانش آموز از صفر شروع کنه 2)بهتره که از ساده به مشکل بره و بعد نتیجه گیری بعدی، حتماً هر کس از ساده به مشکل بره، قطعاً بهتره یاد می گیره. اما مشکل بچه هایی که از صفر شروع کردند (طبق فرض اول) و از ساده به مشکل (طبق فرض دوم) به یاد گیری خوب رسیدند (طبق نتیجه) اینه که حالا وقتی بر میگردند به مسائل ساده ،اونا را به راحتی نمی تونه حل کنه. راستی علت چیه؟ شما روش بحث کنید که علت چیه، شما هم آیا این اتفاق براتون افتاده یا نه و اگه افتاده چرا؟
یکی از دانش آموزان جواب میده: مسئله به خودمان برمیگرده، یا از گام اول ضعف داشتیم یا رسیدن به گام آخر را ما با اتکای بر معلومات قبلی بدست نیاورده ایم.
دانش آموز سهند نوآیین کلاس اول دبیرستان : من این مسئله را به بازی فوتبال تشبیه می کنم یک بازیکن فوتبال وقتی پیشرفت می کنه می تونه گل های خیلی قشنگی بزنه ولی ممکنه گاهی توی تک به تک که بهترین موقعیت برای گل زنی هست و یک آماتور هم می تونه گل بزنه ، نتونه گل بزنه بهتره که ما وقتی به یک سوال سخت می رسیم سوال های قبلی را فراموش نکنیم اگر این درس را بلدیم ببینیم درس های قبلی یادمون مونده ، این سوال سخت را که حل می کنیم یه سوال آسون هم باهاش حل کنیم.
دانش آموز راضیه علیخانی : شاید این سوال ها را زیاد بهشون اهمیت نمی دیم پس فراموش می کنیم. در این وضعیت می ریم سراغ سوال های دیگه و فکر می کنیم اونا رو بلدیم.
خانم دکتر: ببینید ، فرض اول این بود که بهتره از صفر شروع کنیم، شما برای نوزاد 5 ماهه هم نمی تونید از صفر شروع کنید چه برسه اول ابتدایی ، شما وقتی که وارد مدرسه می شید یک دنیا ذهن پیچیده ی درگیر دارید یعنی ذهن شما یک لوح سفید نیست که روش خوب بنویسید خوب نقش می بنده ، بد بنویسید بد نقش می بنده. شما قبل از اینکه برید دبستان، قشنگ محاسبات تا پایان پنجم ابتدایی رو از طریق پول بلدید شما یک ذره حساب ، کتابتان با دیگری مخدوش بشه حواستون جمعه و یقه طرف رو میگیرید می دونید که حساب معناش چیه و ده هزار تومان معناش چیه، می دونید که اگه دو هزار تومان از ده هزار تومان بردارید یا دویست تومان از ده هزار تومان بردارید چه تفاوتی وجود دارد، رقم رو میشناسید، عدد رو می شناسید محاسبه با اینها رو می شناسید ده هزار تومان دارید 5 هزار تومان دارید ، دو هزار تومان دارید بهتون اجازه دادند در یه محدوده ای با این خرید کنید قشنگ تخمین می زنید که با این 2هزار تومان چی بخرید که به صلاحت باشه اینها همه دانسته های عمیق ریاضی و توانایی های حل مسئله است. اصلا از صفر هیچ کسی در مدرسه شروع نمی کنه منتها وارد مدرسه که می شیم نظام مدرسه ما رو از صفر می بینه. یعنی انگار این ذهن لوح سفیده ، حالا تازه می خوایم روش بنویسیم این از صفر شروع کردن یعنی فرض اول به چالش کشیده میشه فرض دوم شما می گید از ساده به مشکل بهتر فهمیده میشه، شما وقتی که بازی کامپیوتری می کنید سراغ بازی ساده می رید یا مشکل، صادقانه بگو، چه نوع بازیهایی رو انتخاب می کنید. ببینید بازی رو انتخاب می کنید که واستون چالش داشته باشه هیجان داشته باشه، شما لذت پیروزیش رو ببرید بگید هورا موفق شدم حالا زمان بگیرید دفعه ی دیگه این مسابقه را در زمان کوتاه تری می برید این از ساده به مشکل گاهی وقتا یه نوع نگاه آموزشیه، که خیلی هم غلبه داره در تمام دنیا اما، اگر از یک طرف دیگه بهش نگاه کنید شاید یه نوع کسالته، خیلی وقتا ست که می خوایم از روی سوالات ساده تند و تند بپریم که برسیم به چیزی که برای ما چالش داره در این پریدنها ، ممکنه خطر مراحلی که ازش پریدیم زیاد بشه. من فکر میکنم به جای این که از ساده به مشکل بریم یه مرحله ی وسیعی که شامل ساده ها و مشکل ها هست را با هم ببینیم و ببینیم برای رسیدن به پله آخر چگونه باید تلاش کنیم بعد خودمون جاهای خالی را پرکنیم، این روش ساده تره، زمان کمتری می طلبه حرکتمان رو سریعتر میکنه و جذاب تر می شه به نظر من اگه خودمون این سادگی و پیچیدگی رو تشخیص بدیم یا بصورت یک مجموعه به هم دیگر نگاه کنیم و هدفمان رسیدن به یک انتهای پر از پیچیدگی و دست انداز و شرایط سخت باشه وقتی که برگردیم اون تجربیات بخشی از زندگی ما می شه و نمی تونه فراموش بشه، مثل رانندگی، که وقتی شما رانندگی می کنین خوب یاد می گیرید و خوش دست میشین دیگه نمیتونید بگید رانندگی راه راست را نمیتونم برم ولی اگه هر مرحله رو پرونده شو جمع کنیم و وارد مرحله ی بعدی بشیم یادت می ره مرحله ی قبلی چی بود.
این قاعده ی کلی است، اون فوتبالیست ها هم که یک کاری را انجام می دن تمام نمی کنن. دائم اون مرحله و مراحل قبلی رو با هم انجام می دن تا فوتبالیست باقی بمانند.
دانش آموز حبیب پناهی سوم متوسطه: با سلام به استادان گرامی سوالی که من داشتم اینه که چرا تو امتحان ریاضی مثلا گفته که طول ضلع این مثلث 8 است ما صورت مسئله را کامل می خونیم بعد توی پاسخنامه با 10 حل می کنیم یا مثلا گفته این مثلث متساوی الساقین است ما تو ذهن خودمون مثلث متساوی الاضلاع در نظر می گیریم، سوال من این که علت این که اشتباه می گیریم چیه وبرای رفع اونها باید چیکارکرد؟
آقای خرد پژوه : دلیل اش اینه که ما در واقع همیشه دنبال این هستیم که هر مساله ای رو باش برخورد می کنیم بگردیم ببینیم مشابه اش رو قبلا حل کردیم یا نه، یعنی آیا مساله مشابهی بوده که من ظرف چند وقت گذشته باهاش مواجه شده باشم و حل کرده باشم یا نه، گاهی اوقات ما توی این مشابه سازی اشتباه می کنیم و اون اشتباه مون، چیزی است که شما بهش اشاره کردید. یعنی من توی ذهنم دنبال این می گردم که مسئله مشابه پیدا کنم فکر می کنم چیزی که ما باید به دانش آموزان آموزش بدیم که این توی مدارس،یه کم جاش خالی هست اینکه کلاسهای مدرسه ما الان تبدیل شده به اینکه معلم یه چیزی بگه و دانش آموز آنرا بشنوه و یاداشت کنه، کمتر به این سمت رفتیم که دانش آموز چیزی را بخونه و یاد بگیره و سوال بکنه، یعنی اگر همون مسئله را معلم صورتش رو برای شما میخوند احتمالا اشتباه نمی کردید چرا ؟چون حس شنوایی شما یعنی شنیدن و بعد تبدیل اش کردن به یک مسئله براتون تمرین شده و جا افتاده، نه حس خواندن، دیدن و حل کردن.
دکتر گویا : ببخشید خود شما فکر می کنید علتش چیه ، یعنی تا حالا به ریشه یابی این مشکل خودت فکر کردی ، شما درباره این مشکل چه حدسیه ای دارید : جواب: جواب قانع کننده ای پیدا نکردم
دانش آموز دیگر (به شوخی ) : ذهن مون یک کوچولو درز هوا هم باید داشته باشه چرا که در، بسته ی بسته نیست!
خود همون دانش آموز : منظور من از طرح این سوال فقط بحث بی دقتی اش نبود بلکه نا امیدی بعد از اون است. چرا که جواب مسئله باید به یه عددی نزدیک باشه، یه جوابی بدست می یاریم که واقعا به اون نزدیک نیست و هرچی هم دوباره اون عملیاتمون را تکرار میکنیم می بینیم که هیچ اشتباهی نداشتیم(ازنظر خودمون) برای حل دوباره ناخوداگاه همون راه حل های تو ذهنمون مرور می شه و همون کارها رو دوباره انجام میدیم حالا این بی دقتی مسئله به کنار، بحث ناامیدی که بعدش بوجود می یاد روچطوری باید جبران کرد؟
خانم گویا: ببینید سوال خیلی عمیق است بخشی اش رو آقای خردپژوه بهش پرداختند و به نظر من خیلی جالب بود ولی نگاه کنید حرفهای خیلی عمیقی دارید می زنید و خود این حرفها را اگر دوباره بشنوید نکاتی را پیدا میکنیم. ببینید دارید می گید ما دوباره تکرار می کنیم یعنی عین راه رفته و جواب داده را نا خوداگاه تکرار می کنیم چرا؟
برای اینکه برای اون راه به جواب نرسیده را بارها و بارها تمرین کردید، شما یک مسیر را آنقدر رفتی که نسبت بهش شرطی شدی یعنی سرمسیر بزارنت تا ته مسیر می ری، اگه 8 رو 10 دیدی و برای حل دوباره، بازم اونو 10 می بینی به این دلیله که بین اون مسئله و مسئله جدید، مسئله ای در ذهنت نقش بسته و مشابهت برقرار کرده که بخشی از این مشکل را آقای خرد پژوه اشاره کردند و بخش دیگه مشکل به نظر من اینه که شما وقتی دوباره نگری می کنید زاویه دیدتون رو تغییر نمی دید دوباره همون مسیر رفته رو طی می کنید خوب فایده ای نداره ، ببینید شما 4 بار 5 بار 6 بار مسیر رفته را طی می کنید و اینو از آموزش تون یادگرفتی، شما یه مطلب ساده، یه نکته ساده را 30 بار تمرین یه جور حل میکنی، یعنی اگر هم اشتباه تمرین کنی اشتباه موروثی می شه اشتباه میشینه توی ذهن شما. این اشتباه ها رو تقویتش می کنی. بعد ناخوداگاه اون عددی که در ذهن ات وجود دارد هی تداعی می شه و این نکته شما کاملا درسته که اگر 2 یا 3 بار این اتفاق بیفته ممکنه یه ناامیدی اتفاق بیفته که مثلاٌ من تو دیدن اعداد مشکل دارم. من فکر می کنم یه کار جدی که لازمه بکنی اینه که با یک نگاه دقیق و تغییر زاویه دید به آن مسأله نگاه کن، انگار که از اول شروع می کنی، اگر این کار روبکنی شاید در کاهش اشتباهات سهویتان تاثیر داشته باشه. اگرکاهش پیدا نکرد اشتباهتون از نوعی هست که بهش میگن بدفهمی یعنی یه چیزی رو فهمیدی اما مقلوب فهمیدی که باید برای اون کار دیگه ای انجام داد.
تهیه کنندگان : آقایان قربانعلی نصیری و رضا منصوری (خانه ریاضیات شهرستان بروجن)
با آرزوی موفقیت و سربلندی برای شما که با سربلندی به کشور خود، خدمت می کنید.
1.نام تپه ای در شهر بروجن
2.نام کوهی در اطراف شهر بروجن که یکی از قطبهای گردشگری بزرگ استان می باشد
